Question

設曲線C的參數方程為

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是參數，a＞0），直線l的極坐標方程為3ρcosθ+4ρsinθ=5，若曲線C與直線l只有一個公共點，則實數a的值是

 

．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：曲線C的參數方程為

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是參數，a＞0），利用sin²θ+cos²θ=1化為（x-a）²+（y-1）²=16．直線l的極坐標方程為3ρcosθ+4ρsinθ=5，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

化為3x+4y-5=0．由于曲線C與直線l只有一個公共點，可得直線與圓相切，因此圓心到直線l的距離d=r，a＞0，解出即可．

解答： 解：曲線C的參數方程為

x=a+4cosθ y=1+4sinθ

（θ是參數，a＞0），化為（x-a）²+（y-1）²=16．
直線l的極坐標方程為3ρcosθ+4ρsinθ=5，化為3x+4y-5=0．
∵曲線C與直線l只有一個公共點，
∴直線與圓相切，
∴圓心到直線l的距離d=

|3a+4-5|

32+42

=r=4，a＞0，
解得a=7．
故答案為：7．

點評：本題考查了把參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了計算能力，屬于基礎題．