Question

已知函數f（x）＜0定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=xlnx，給出下列命題中正確命題個數是：（　　）
①當x＜0時，f（x）=xln（-x）            
②函數f（x）有2個零點
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）     
④?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

e

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據奇函數的性質，f（-x）=-f（x），加以判斷．

解答： 解：函數的圖象如圖：
x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-xln（-x）
∵函數是奇函數，
∴f（x）=-f（x）=xln（-x），故①正確；
∴f（0）=0，故函數的零點由三個，故②不正確；
由圖象可知：③正確；
當x∈[-1，1]時，f（x）_max=-

1

e

ln

1

e

=

1

e

，
f（x）_min=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，
∴④?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

e

．故④正確．
故選C

點評：本題考查了函數解析式的求法，零點的求法，以及函數的單調性，屬于基礎題目．利用繪畫函數圖象，通過圖象得到結論．