Question

在△ABC中，sinA=

3

sinC．
（1）若B=

π

3

，求tanA的值；
（2）若△ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且△ABC的面積S滿足S=b²tanB，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷,正弦定理

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）運用內角和定理和兩角差的正弦公式及同角的商數關系，即可得到；
（2）由正弦定理和余弦定理，及三角形的面積公式，計算cosA＜0，即可判斷形狀．

解答： 解：（1）C=π-A-B=

2π

3

-A，
sinA=

3

sin（

2π

3

-A）=

3

（

3

2

cosA+

1

2

sinA），
（2-

3

）sinA=3cosA，
解得，tanA=6+3

3

；
（2）由正弦定理，sinA=

3

sinC
即為a=

3

c，①
又S=

1

2

acsinB=b²•

sinB

cosB

，
即有accosB=2b²，
由余弦定理得，a²+c²=5b²，②
將①代入②的，b=

2 5

5

c，
由余弦定理得，
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4 5 c2+c2-3c2

2bc

＜0，
則A為鈍角，
則△ABC為鈍角三角形．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理以及面積公式的運用，考查三角形形狀的判斷，考查兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．