Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足

a

+

b

+

c

=0，且

a

與

c

的夾角為60°，|

b

|=

3

|

a

|，則

a

與

b

的夾角為

 

．

Answer 1

考點：數量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應用

分析：設△ABC中，

BC

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

c

，令|

BC

|=1，則|

CA

|=

3

，如圖：則∠ABC=120°，θ為所求．再由正弦定理可得

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

，求得sin（θ-120°）=

1

2

，可得θ的值．

解答： 解：∵向量

a

，

b

，

c

滿足

a

+

b

+

c

=0，且

a

與

c

的夾角為60°，
設△ABC中，

BC

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

c

，令|

BC

|=1，則|

CA

|=

3

，
如圖所示：
可得∠ABC=120°，θ為所求．
△ABC中，由正弦定理可得

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

，即

3

sin120°

=

1

sin[180°-120°-(180°-θ)]

，
求得sin（θ-120°）=

1

2

，∴θ=150°，
故答案為：150°．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，正弦定理的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于基礎題．