Question

在底面半徑為2

2

，母線長為2

3

的圓錐中內接一個正四棱柱．若正四棱柱恰為正方體．
（1）求正方體的表面積和體積；
（2）求四棱柱的側面積最大時，該四棱柱的底面邊長為多少？

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）設正方體的邊長為x，作出圓錐的軸截面；通過三角形相似解答；（2）類似于（1）分析解答．

解答： 解：∵圓錐的底面半徑為2

2

，母線長為2

3

，
∴圓錐的高為

12-8

=2；
（1）設正方體的邊長為x，作出圓錐的軸截面；
則由三角形相似可得，

2 x 2

2 2

=

2-x

2

，
解得，x=

4

3

．
則S=6•x²=

32

3

，
V=x³=

64

27

．
（2）設四棱柱的底面邊長為x，側棱長為y，則有

2 x 2

2 2

=

2-y

2

，
則y=2-

x

2

，
S_側=4x×y=4x（2-

x

2

）=-2x²+8x=-2（x-2）²+8
則當x=2時，S_側有最大值．
即四棱柱的側面積最大時，該四棱柱的底面邊長為2．

點評：本題考查了利用幾何體的軸截面分析量的等量關系，注意不同量的轉化．