Question

已知函數y=log_a（x-2）+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

3

m

+

1

n

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：由函數y=log_a（x-2）+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A求得A的坐標，代入直線mx+ny+1=0得到-3m-n=1，代入

3

m

+

1

n

=（

3

m

+

1

n

）（-3m-n）整理后利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵函數y=log_a（x-2）+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，
則A（3，1），
∵點A在直線mx+ny+1=0上，
∴3m+n=-1，-3m-n=1．
又mn＞0，
∴m＜0，n＜0．
∴

3

m

+

1

n

=（

3

m

+

1

n

）（-3m-n）=-10-（

3n

m

+

3m

n

）≤-10-2

3n m • 3m n

=-16．
故答案為：-16．

點評：本題考查了基本不等式在求函數最值中的應用，利用基本不等式求函數最值，注意“一正、二定、三項等”，是基礎題．