Question

已知函數f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數．
（1）求k的值；
（2）設g（x）=log₄（2^x-1-

4

3

a），若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用偶函數的定義即可得出；
（2）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
?函數h（x）=f（x）-g（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x-log₄（2^x-1-

4

3

a）=log4

4x+1

2x-1- 4 3 a

-

1

2

x只有一個零點．
由h（x）=0，化為

4

3

a=-(

2x

2

+

1

2x

)，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，
化為log4

1+4x

4x

×

1

1+4x

=2kx，化為（2k+1）x=0，
此式對于任意實數x都成立，∴2k+1=0，解得k=-

1

2

．
經過驗證滿足條件．
（2）∵函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
∴函數h（x）=f（x）-g（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x-log₄（2^x-1-

4

3

a）=log4

4x+1

2x-1- 4 3 a

-

1

2

x只有一個零點．
由h（x）=0，可得

4x+1

2x-1- 4 3 a

=4

1

2

x，化為

4

3

a=-(

2x

2

+

1

2x

)≤-2

2x 2 • 1 2x

=-

2

，當且僅當x=0時取等號．
∴a≤-

3 2

4

．
∴實數a的取值范圍是a≤-

3 2

4

．

點評：本題考查了函數的零點、奇偶性、指數運算性質、基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．