Question

已知f（x）的定義域為R，已知f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），且f（2）=f（-1）≠0，求g（-1）+g（1）．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y，則f（0）=0，令y=0則可推出g（0）=1．令x=0，則可得f（-y）=-f（y），令y=-x，則f（2x）=f（x）[g（-x）+g（x）]，再令x=1即可得到答案．

解答： 解：令x=y，則f（0）=f（x）g（x）-g（x）f（x），即f（0）=0，
令y=0則f（x）=f（x）g（0）-g（x）f（0）=f（x）g（0），
若g（0）=0，則f（x）=0不成立，
若g（0）≠0，則g（0）=1．
令x=0，則f（-y）=f（0）g（y）-g（0）f（y）=-f（y），
令y=-x，則f（2x）=f（x）g（-x）-g（x）f（-x）=f（x）g（-x）+f（x）g（x）=f（x）[g（-x）+g（x）]
令x=1，則f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]，
又f（2）=f（-1）≠0，則f（-1）=f（1）[g（-1）+g（1）]=-f（1），
故g（-1）+g（1）]=-1．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)值的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵．