Question

已知集合A={x|x＞0}，B={x|x²-（a+b）x+ab＜0，a，b∈R}，D=A∩B，函數f（x）=x³+x²+bx+1
（1）當b=1時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a=b+1，且f（x）在D上有極小值時，求b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，不等式f（x）≤1對任意的x∈D恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數的關系,二次函數的性質

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數的幾何意義，求f（x）的導數，便求出切線的斜率；
（2）通過a，b的關系求出幾何D，函數在區間上有極值，則在區間端點處的切線斜率異號，得到不等式求b的范圍；
（3）利用（2）的條件，要使f（x）≤1在D上恒成立，只要f（x）_max≤1，∴只要

f(0)≤1 f(b+1)≤1 21 -9 6 ＜b＜0

，解答即可．

解答： 解：（1）f（x）=x³+x²+x+1，f′（x）=3x²+2x+1，
∴x=1時，f′（1）=6，f（1）=4，
∴f（x）在（1，f（1））的切線方程為y-4=6（x-1），整理得6x-y-2=0．
（2）當-1＜b＜0，D集合為（0，b+1），f（x）在D上有極小值，f′（0）＜0且f′（b+1）＞0，則

21 -9

6

＜b＜0；
當b≥0時，D集合為（b，b+1），f（x）在D上有極小值，

f′(b+1)＞0 f′(b)＜0

，無解，
∴

21 -9

6

＜b＜0；

（3）由（2）可知，要使f（x）≤1在D上恒成立，只要f（x）_max≤1，∴只要

f(0)≤1 f(b+1)≤1 21 -9 6 ＜b＜0

，解得

21 -9

6

＜b≤

2

-2．

點評：本題考查了利用導數求切線的斜率以及利用導數求參數范圍、解決恒成立問題．