Question

定義y=log_（1+x）F（x，y），x＞0，y＞0．
（1）比較F（1，3）與F（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，證明：F（x-1，y）＞F（y-1，x）；
（3）設函數f（x）=F[1，log₂（x³+ax²+bx+1）]的圖象為曲線C．曲線C在x₀處的切線的斜率為k，若x₀∈（1，1-a）且存在實數b使得k=-4，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由定義知F（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，由此能比較比較F（1，3）與F（2，3）的大小．
（2）F（x-1，y）=x^y，F（y-1，x）=y^x，要證F（x-1，y）＞F（y-1，x），只要證x^y＞y^x，由此能證明不等式F（x-1，y）＞F（y-1，x）成立．
（3）由題意知：f（x）=x³+ax²+bx+1，且f′（x₀）=k，于是有3x₀²+2ax₀+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．由此利用分類討論思想結合導數性質能求出實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）由定義知F（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，
∴F（1，3）=（1+1）³=8，F（2，2）=（1+2）²=9，
∴F（1，3）＜f（2，2）．…（3分）
（2）F（x-1，y）=x^y，F（y-1，x）=y^x，
要證F（x-1，y）＞F（y-1，x），只要證x^y＞y^x，
∵x^y＞y^x，
∴ylnx＞xlny，
∴

lnx

x

＞

lny

y

，…（5分）
令h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
當x＞e時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（e，+∞）上單調遞減．
∵e＜x＜y，
∴h（x）＞h（y），即

lnx

x

＞

lny

y

，
∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．…（8分）
（3）由題意知：f（x）=x³+ax²+bx+1，且g′（x₀）=k，
于是有3x₀²+2ax₀+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．
又由定義知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0，
即x₀³+ax₀²+bx₀＞0，
∵x₀＞1，
∴x₀²+ax₀＞-b，
∴x₀²+ax₀＞3x₀²+2ax₀+4，
即ax₀＜-2（x₀²+2），
∴a＜-2（x₀+

2

x0

）在x₀∈（1，1-a）有解．…（10分）
設V（x₀）=x₀+

2

x0

，x₀∈（1，1-a），
①當1-a＞

2

，即a＜1-

2

時，V（x₀）=x₀+

2

x0

≥2

2

．
當且僅當x₀=

2

時，V（x₀）min=2

2

，
∴當x₀=

2

時，-2（x₀+

2

x0

）_max=-4

2

，
∴a＜-4

2

．…（12分）
②當1＜1-a≤

2

時，即1-

2

≤a＜0時，V（x0）=x₀+

2

x0

在x₀∈（1，1-a）上遞減，
∴x₀+

2

x0

＞1-a+

2

1-a

．
∴a＜-2[（1-a）+

2

1-a

]
整理得：a²-3a+6＜0，無解，…（13分）
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，-4

2

）．…（14分）

點評：本題考查兩數大小的比較，考查不等式的證明，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．