Question

若集合A⊆X，X為全集，則稱函數f_A（x）=

1，x∈A 0，x∉A

為A的特征函數．記C_xA=

.

A

那么，對A，B⊆X，下列命題不正確的是（　　）

• A、A⊆B⇒f_A（x）≤f_B（x），?x∈X
• B、f

  .

  A

  （x）=1-f_A（x），?x∈X
• C、f_A∩B（x）=f_A（x）f_B（x），?x∈X
• D、f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x），?x∈X

Answer 1

考點：函數的表示方法,函數的概念及其構成要素

專題：函數的性質及應用

分析：A．由于A⊆B，?x∈A，可得x∈B，f_A（x）=1=f_B（x），即可判斷出；
B．?x∈A，f_A（x）=1，則f

.

A

(x)=0，?x∈

.

A

，同樣得出；
C．?x∈A∩B，則x∈A，且x∈B，f_A（x）=f_B（x）=1；
D．當x∈A∩B時x∈A∪B，則f_A（x）=1=f_B（x），f_A∪B（x）=1，即可得出．

解答： 解：A．∵A⊆B，∴?x∈A，則x∈B，∴f_A（x）=1=f_B（x），∴f_A（x）≤f_B（x）；
B．∵?x∈A，f_A（x）=1，則f

.

A

(x)=0，?x∈

.

A

，同樣得出，∴f

.

A

(x)=1-f_A（x）；
C．?x∈A∩B，則x∈A，且x∈B，∴f_A（x）=f_B（x）=1，∴f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
D．當x∈A∩B時x∈A∪B，則f_A（x）=1=f_B（x），f_A∪B（x）=1，則f_A（x）+f_B（x）=2≠f_A∪B（x）．
綜上可得：只有D不正確．
故選：D．

點評：本題考查了新定義特征函數、集合之間的關系及其運算、元素與集合之間的關系，考查了推理能力，屬于難題．