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函數f(x)對一切實數x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅲ)對任意的x1∈(0,
1
2
),x2∈(0,
1
2
),都有f(x1)+2<logax2成立時,求a的取值范圍.
考點:抽象函數及其應用
專題:計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用
分析:(Ⅰ)令x=1,y=0,即可得到f(0);
(Ⅱ)由條件,令y=0,結合f(0),即可得到f(x)的表達式;
(Ⅲ)求出f(x1)+2在x1∈(0,
1
2
)上遞增,得到f(x1)+2∈(0,
3
4
),再對a討論,應用恒成立思想:最大值不小于最小值,即可得到答案.
解答: 解:(Ⅰ)由f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,
令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2,
又f(1)=0,則f(0)=-2;
(Ⅱ)由f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,
令y=0,得f(x)-f(0)=x(x+1).
由f(0)=-2,則f(x)=x2+x-2;
(Ⅲ)∵x1∈(0,
1
2
),
∴f(x1)+2=x12+x1=(x1+
1
2
2-
1
4
在x1∈(0,
1
2
)上遞增,
∴f(x1)+2∈(0,
3
4
),
要使任意的x1∈(0,
1
2
),x2∈(0,
1
2
),都有f(x1)+2<logax2成立,
當a>1時,logax2<loga
1
2
,顯然不成立;
當0<a<1時,logax2>loga
1
2
,則
0<a<1
loga
1
2
3
4
,解得
34
4
≤a<1.
綜上,a的取值范圍是[
34
4
,1).
點評:本題考查抽象函數及應用,考查解決抽象函數的常用方法:賦值法,考查不等式的恒成立問題,轉化為求函數最值問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知集合A={x|x>0},B={x|x2-(a+b)x+ab<0,a,b∈R},D=A∩B,函數f(x)=x3+x2+bx+1
(1)當b=1時,求函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當a=b+1,且f(x)在D上有極小值時,求b的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,不等式f(x)≤1對任意的x∈D恒成立,求b的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知兩個動點A、B和一個定點M(x0,y0)均在拋物線y2=2px(p>0)上,設F為此拋物線的焦點,Q為其對稱軸上一點,若(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0,且|
FA
|,|
FM
|,|
FB
|成等差數列.
(1)求
OQ
的坐標;
(2)若|
OQ
|=3,|
FM
|=2,求|
AB
|的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

某校高三某班的一次測試成績的頻率分布表以及頻率分布直方圖中的部分數據如下,請根據此解答如下問題:
(1)求班級的總人數;
(2)將頻率分布表及頻率分布直方圖的空余位置補充完整;
(3)若要從分數在[80,100)之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分數在[90,100)之間的概率.
分組頻數頻率
[50,60) 0.08
[60,70)7 
[70,80)10 
[80,90)  
[90,100)2 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,過點K(0,-1)的直線l與C相交于A,B兩點,點A關于y軸的對稱點為D.
(Ⅰ)證明:點F在直線BD上;
(Ⅱ)設
FA
FB
=
8
9
,求∠DBK的平分線與y軸的交點坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

x2+ax-2
x2-x+1
<2恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知四棱錐的底面是正方形,側面都是高為
3
的等邊三角形,求這個四棱錐的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在三角形ABC中,已知AB=3,A=120°,△ABC的面積為
15
3
4
,則
BC
BA
的值=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.若l1與l2的交點為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于
 

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