Question

5．已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，?x∈R，f（x-1）=f（x+1）成立，當x∈（0，1）且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．給出下列命題：
①f（1）=0；
②f（x）在[-2，2]上有5個零點；
③直線x=2 016是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸．
④點（2 016，0）是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心；
則正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 根據已知，分析出函數的周期和單調性，進而畫出滿足條件的函數的草圖，逐一分析四個結論的真假，可得答案．

解答 解：當x∈（0，1）且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．
即此時函數為減函數，
?x∈R，f（x-1）=f（x+1）成立，
即函數是T=2的周期函數，
又由函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
函數y=f（x）的草圖如下所示：

由圖可知：
f（1）=0，故①正確；
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5個零點，即②正確；
函數y=f（x）圖象無對稱軸，故③錯誤；
所有（k，0）（k∈Z）點均為函數的對稱中心，故（2016，0）是函數y=f（x）的一個對稱中心，故④正確；
故答案為：①②④

點評 本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，函數的周期性，函數的單調性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．