Question

13．求證：函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{x+1}$（a＞1）在區(qū)間（-1，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明即可．

解答 解：設?x₁，x₂∈（-1，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}+a}{{x}_{1}+1}$-$\frac{{x}_{2}+a}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（1-a）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$，
∵${x_1}，{x_2}∈（-1，+∞），且{x_1}＜{x_2}\\$，
∴${x_1}+1＞0，{x_2}+1＞0，{x_1}-{x_2}＜0\\ \begin{array}{l}{又}&{\;}\end{array}a＞1\\$，
∴$1-a＜0\\$，
∴$\frac{{（1-a）（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＞0，即f（{x_1}）-f（{x_2}）＞0\\$，
∴$f（{x_1}）＞f（{x_2}）\\，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）是減函數(shù)．\end{array}$．

點評 本題考查了函數(shù)單調性的定義，是一道基礎題．