Question

17．如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為45°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，∠COD=60°．
（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
（2）求軸OP與平面PCD所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）設面PAB∩面PCD=直線m，由線面平行的判定得AB∥面PCD，再由線面平行的性質得AB∥直線m，進一步得到直線m∥面ABCD；
（2）設CD的中點為M，連接OM、PM，可得OP在平面PCD上的射影在PM上，然后求解直角三角形可得軸OP與平面PCD所成的角的正切值．

解答 （1）證明：設面PAB∩面PCD=直線m，
∵AB∥CD，且CD?平面PCD，∴AB∥面PCD，得AB∥直線m，
∵AB?面ABCD，∴直線m∥面ABCD．
∴面PAB與面PCD的公共交線平行底面ABCD；
（2）解：設CD的中點為M，連接OM、PM，
∵OC=OD，∴OM⊥CD，
設OD=r，則$OM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}r$，
又OP⊥平面OCD，∴OP⊥CD，
又OP∩OM=O，∴CD⊥平面OPM，
過O作OH⊥PM，垂足為H，則CD⊥OH，
又OH∩PM=H，∴OH⊥平面PCD，
∴OP在平面PCD內的射影為PH，
則∠OPH為軸OP與平面PCD所成的角的平面角，
又母線與底面所成的角為45°，即∠ODP=45°，∴OP=OD=r，
在直角△POM中，$tan=∠OPM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
而∠OPM=∠OPH，∴軸OP與平面PCD所成的角的正切值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．