Question

12．設有等比數列a，a（a-1），a（a-1）²，…，其前n項和為S_n．
（1）求實數a的取值范圍及S_n；
（2）是否存在實數a，使S₁，S₃，S₂成等差數列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等比數列的性質能求出實數a的取值范圍，分a=2和a≠2兩種情況進行分類討論，能求出S_n．
（2）由S₁，S₃，S₂成等差數列，得S₁+S₂=2S₃，a≠2，由此能求出a的值．

解答 解：（1）∵等比數列a，a（a-1），a（a-1）²，…，其前n項和為S_n，
∴實數a的取值范圍是{a|a≠0且a≠1}．
當a=2時，該等比數列為2，2，2，…，2，
S_n=2n．
當a≠2時，${S}_{n}=\frac{a[（a-1）^{n}-1]}{a-2}$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2n，n≠2}\\{\frac{a[（a-1）^{n}-1]}{a-2}，a≠0且a≠1且a≠2}\end{array}\right.$．…（6分）
（2）由S₁，S₃，S₂成等差數列，得S₁+S₂=2S₃…（7分）
這里a-1≠1即a≠2，
∴$a+\frac{{a[{{{（{a-1}）}^2}-1}]}}{a-2}=2•\frac{{a[{{{（{a-1}）}^3}-1}]}}{a-2}$，…（9分）
2（a-1）²-（a-1）-1=0，
[2（a-1）+1][（a-1）-1]=0，
（2a-1）（a-2）=0，
∴$a=\frac{1}{2}$…（11分）
當$a=\frac{1}{2}$時，${S_1}=\frac{1}{2}，{S_3}=\frac{3}{8}，{S_2}=\frac{1}{4}$成等差數列，
即所求a的值為$\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查實數值的求法，考查等比數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．