Question

1．已知f（x）是定義在R上的偶函數，且x≤0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（a-1）＜-1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的性質即可求函數f（x）的解析式；
（2）若f（a-1）＜-1，將不等式進行轉化即可求實數a的取值范圍

解答 解：（1）令x＞0，則-x＜0，f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）=f（x）
∴x＞0時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）（x＞0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1）（x≤0）}\end{array}\right.$．
（2）（Ⅲ）∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）在（-∞，0]上為增函數，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數
∵f（a-1）＜-1=f（1）
∴|a-1|＞1，
∴a＞2或a＜0．

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及不等式的求解，根據函數奇偶性的性質求出函數的解析式是解決本題的關鍵