Question

2．求下列各式的最值：
（1）已知x＞y＞0，且xy=1，求$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$的最小值及此時x，y的值．
（2）設a，b∈R，且a+b=5，求2^a+2^b的最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）利用基本不等式與指數函數運算冪的性質即可求得答案．

解答 解：（1）∵x＞y＞0，且xy=1，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$=$\frac{{（x-y）}^{2}+2xy}{x-y}$=（x-y）+$\frac{2xy}{x-y}$=（x-y）+$\frac{2}{x-y}$≥2$\sqrt{2}$，
當且僅當x-y=$\frac{2}{x-y}$時“=”成立，
此時$\left\{\begin{array}{l}{x-y=\frac{2}{x-2}}\\{xy=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2+\sqrt{3}}}\\{y=\sqrt{2-\sqrt{3}}}\end{array}\right.$；
（2）解：∵2^a＞0，2^b＞0，a+b=5，
∴2^a+2^b≥2$\sqrt{{2}^{a}{•2}^}$=2$\sqrt{{2}^{a+b}}$=2$\sqrt{{2}^{5}}$=8$\sqrt{2}$（當且僅當a=b=$\frac{5}{2}$時取“=”）．
即2^a+2^b的最小值是8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式，考查指數函數運算冪的性質，屬于基礎題．