Question

17．已知：${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^n}$的展開式中前三項系數的絕對值依次成等差數列．
（1）證明：展開式中沒有常數項；
（2）求展開式中的所有x的整數次冪的項．

Answer 1

分析 （1）利用二項展開式的通項公式求出前三項的系數，列出方程求出n，再利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數為0得到常數項，由方程無解得證；
（2）令展開式中的x的指數為有理數，求出k值，再寫出相應的有理項．

解答 解：依題意，前三項系數的絕對值是1，C¹_n（$\frac{1}{2}$），C²_n（$\frac{1}{2}$）²，
且2C¹_n•$\frac{1}{2}$=1+C²_n（$\frac{1}{2}$）²，
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（不合題意，舍去），
∴展開式的第k+1項為
C^k₈（$\sqrt{x}$）^8-k（-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k
=（-$\frac{1}{2}$）^kC^k₈•${x}^{\frac{8-k}{2}}$•${x}^{-\frac{k}{4}}$
=（-$\frac{1}{2}$）^k•C^k₈•${x}^{\frac{16-3k}{4}}$；
（1）證明：若第k+1項為常數項，
當且僅當$\frac{16-3k}{4}$=0，即3k=16，
由k∈Z得這是不可能的，
所以其展開式中沒有常數項；
（2）若第k+1項為有理項，當且僅當$\frac{16-3k}{4}$為整數，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項共有三項，它們是：
T₁=x⁴，T₅=$\frac{35}{8}$x，T₉=$\frac{1}{256}$x^-2．

點評 本題考查了利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，是綜合性題目．