Question

3．已知函數y=f（x），若在定義域內存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則稱x₀為函數f（x）的局部對稱點．
（I）若a∈R且a≠0，求函數f（x）=ax²+x-a的“局部對稱點”；
（II）若函數f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由奇函數的定義列式求得x值得答案；
（Ⅱ）由f（-x）=-f（x），可得4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0在R上有解，令t=2^x+2^-x，（t≥2），則4^x+4^-x=t²-2，轉化為在區間[2，+∞）內有解，令g（t）=t²-2mt+2m²-8，由題意需滿足以下條件：g（2）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-8（{m}^{2}-4）≥0}\\{m≥2}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，求解得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+x-a，得f（-x）=ax²-x-a，
代入f（-x）=-f（x），得ax²+x-a+ax²-x-a=0，即ax²-a=0（a≠0），
∴x=±1，
∴函數f（x）=ax²+x-a的局部對稱點是±1；
（Ⅱ）∵f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，由f（-x）=-f（x），
得4^-x-m•2^-x+1+m²-3=-（4^x-m•2^x+1+m²-3），
于是4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0①在R上有解，
令t=2^x+2^-x，（t≥2），則4^x+4^-x=t²-2，
∴方程①變為t²-2mt+2m²-8=0在區間[2，+∞）內有解，
令g（t）=t²-2mt+2m²-8，由題意需滿足以下條件：
g（2）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-8（{m}^{2}-4）≥0}\\{m≥2}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，
解得$1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}$或$1+\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$，
綜上$1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$．

點評 本題是新定義題，考查了函數的定義域及其求法，考查數學轉化思想方法，是中檔題．