Question

13．已知：a＞0，b＞0，a+4b=4
（1）求ab的最大值；
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）變形$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=$\frac{1}{4}$$（1+16+\frac{4b}{a}+\frac{4a}{b}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+4b=4≥2$\sqrt{a•4b}$，化為ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴ab的最大值為1．
（2）∵a＞0，b＞0，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=$\frac{1}{4}$$（1+16+\frac{4b}{a}+\frac{4a}{b}）$≥$\frac{1}{4}（17+4×2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}）$=$\frac{25}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{4}{5}$時取等號．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值為$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、“乘1法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．