Question

18．下列結論正確的是（　　）

• A． 當x＞0且x≠1時，$lgx+\frac{1}{lgx}≥2$
• B． 當x＞0時，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$
• C． 當x≥2時，$x+\frac{1}{x}≥2$
• D． 當0＜x≤2時，$x-\frac{1}{x}$無最大值

Answer 1

分析 A．x∈（0，1）時，lgx＜0，不成立．
B．利用基本不等式的性質即可得出成立．
C．x≥2時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用導數研究其單調性即可得出．
D.0＜x≤2時，y=f（x）=$x-\frac{1}{x}$，利用導數研究其單調性即可得出．

解答 解：A．x∈（0，1）時，lgx＜0，不成立．
B．利用基本不等式的性質即可得出成立．
C．x≥2時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，函數f（x）單調遞增，∴f（x）$≥2+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，因此不成立．
D.0＜x≤2時，y=f（x）=$x-\frac{1}{x}$，y′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函數f（x）單調遞增，∴f（x）≤f（2），因此D不成立．
故選：B．

點評 本題考查了基本不等式的性質、利用導數研究其單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．