Question

4．（1）求不等式a^2x-1＞a^x+2（a＞0，且a≠1）中x的取值范圍（用集合表示）．
（2）已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=$\sqrt{x}$+1，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據指數函數的性質，求底數a進行討論，求解不等式．
（2）函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（-x）=-f（x），當x＞0時，f（x）=$\sqrt{x}$+1，可求函數f（x）的解析式．

解答 解：（1）不等式a^2x-1＞a^x+2（a＞0，且a≠1），
∵當a＞1時，2x-1＞x+2，即x＞3．
當0＜a＜1時，2x-1＜x+2，即x＜3．
故不等式a^2x-1＞a^x+2（a＞0，且a≠1）的解集：
當a＞1時，{x|x＞3}，
當0＜a＜1時，{x|x＜3}
（2）已知f（x）是定義在R上的奇函數，f（-x）=-f（x），f（0）=0；
當x＞0時，f（x）=$\sqrt{x}$+1，
當x＜0時，則-x＞0，
故得f（-x）=$\sqrt{-x}$+1，
∵f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x），即-f（x）=$\sqrt{-x}$+1，
∴f（x）=-$\sqrt{-x}$-1，
∵f（x）是奇函數，∴f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+1，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-\sqrt{-x}-1，（x＜0）}\end{array}\right.$

點評 本題考查了指數函數的性質，求底數a進行討論求解不等式的問題和分段函數解析式的求法．屬于基礎題．