Question

已知直線y=x+b與以橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的上焦點為焦點，頂點在坐標原點O的拋物線交于A、B兩點，若△OAB是以角O為直角的三角形，求b的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)已知條件可求出拋物線方程為x²=4y，設(shè)A(x1，

x12

4

)，B（x2，

x22

4

），所以直線OA，OB的斜率分別為，

x1

4

，

x2

4

，所以便得到

x1

4

•

x2

4

=-1①．而聯(lián)立直線y=x+b的方程與拋物線方程會得到關(guān)于x的方程，而根據(jù)韋達定理即可求出x₁x₂=-4b，帶入①即可解出b．

解答： 解：由已知條件知拋物線方程為：x²=4y；
設(shè)A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，kOA=

x1

4

，kOB=

x2

4

；
∵OA⊥OB；
∴

x1x2

16

=-1   ①；
由

y=x+b x2=4y

得，x²-4x-4b=0；
∴x₁x₂=-4b，帶入①得，

-4b

16

=-1；
解得，b=4．

點評：考查橢圓的標準方程及焦點，拋物線的標準方程及焦點，以及存在斜率的兩直線互相垂直的充要條件，韋達定理．