Question

定義：對于任意n∈N^*，滿足條件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是與n無關的常數）的無窮數列{a_n}稱為T數列．
（1）若a_n=-n²（n∈N^*），證明：數列{a_n}是T數列；
（2）設數列{b_n}的通項為b_n=24n-3ⁿ，且數列{b_n}是T數列，求M的取值范圍；
（3）設數列c_n=q-

1

n-p

（n∈N^*），問數列{c_n}是否是T數列？請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由an=-n2數列{a_n}滿足

an+an+2

2

≤an+1，由此能證明數列{a_n}是T數列．
（2）由bn=24n-3n，得bn+1-bn=24(n+1)-3n+1-24n+3n=24-2•3n，由此能求出M的取值范圍．（3）假設數列{c_n}是T數列，依題意有

cn+cn+2

2

-cn+1≤0對任意n恒成立，從而p＜1，M≥q，由此能求出當p＜1且M≥q時，數列{c_n}是T數列．

解答： 解：（1）由an=-n2得an+an+2-2an+1=-n2-(n+2)2+2(n+1)2=-2＜0
所以數列{a_n}滿足

an+an+2

2

≤an+1．（2分）
an=-n2（n∈N^*）單調遞減，
所以當n=1時，a_n取得最大值-1，即a_n≤-1．
所以，數列{a_n}是T數列．（4分）
（2）由bn=24n-3n，
得bn+1-bn=24(n+1)-3n+1-24n+3n=24-2•3n，
當24-2•3ⁿ≥0，即n≤2時，b_n+1-b_n＞0，此時數列{b_n}單調遞增；   （6分）
而當n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時數列{b_n}單調遞減；
因此數列{b_n}中的最大項是b₃，
所以M的取值范圍是 M≥b3=

49

4

．（9分）
（3）假設數列{c_n}是T數列，依題意有：cn+cn+2-2cn+1=

1

p-n

+

1

p-(n+2)

-

2

p-(n+1)

=

2

(p-n)(p-n-1)(p-n-2)

（11分）
因為n∈N^*，所以當且僅當p小于n的最小值時，

cn+cn+2

2

-cn+1≤0對任意n恒成立，
即可得p＜1．（14分）
又當p＜1時，n-p＞0，cn=q-

1

n-p

＜q，故M≥q（16分）
綜上所述：當p＜1且M≥q時，數列{c_n}是T數列． （18分）

點評：本題考查數列{a_n}是T數列的證明，考查M的取值范圍的求法，考查數列{c_n}是否是T數列的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．