Question

19．設銳角△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c成等比數列，且sinAsinC=$\frac{3}{4}$，則角B=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用等差中項的性質建立a，b和c的關系式，利用正弦定理把邊轉化成角的正弦，求得sinB的值，進而求得B．

解答 解：∵a，b，c，成等比數列，
∴b²=ac．
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sin²B=sinAsinC．
又∵sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
∴sin²B=$\frac{3}{4}$．
∵sinB＞0，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
又∵a，b，c成等比數列，
∴b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，故B=$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了正弦定理的運用．在解三角形問題中往往通過正弦定理和余弦定理把角和邊的問題互化，進而找到解決問題的突破口．