Question

10．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=40°，將直線BC繞AC旋轉得到B₁C，直線AC繞AB旋轉得到AC₁，則在所有旋轉過程中，直線B₁C與直線AC₁所成角的取值范圍為[20°，60°]．

Answer 1

分析 平移CB₁到A處，由已知得∠B₁CA=40°，∠B₁AC=140°，0°≤∠C₁AC≤20°，由此能求出直線B₁C與直線AC₁所成角的取值范圍．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=40°，
將直線BC繞AC旋轉得到B₁C，直線AC繞AB旋轉得到AC₁，
如圖，平移CB₁到A處，B₁C繞AC旋轉，
∴∠B₁CA=40°，∠B₁AC=140°，
AC₁繞AB旋轉，∴0°≤∠C₁AC≤2∠CAB，
∴0°≤∠C₁AC≤20°，
設直線B₁C與直線AC₁所成角為α，
則∠B₁AC-∠C₁AC≤α≤∠B₁AC+∠C₁AC，
∵120°≤∠B₁AC-∠C₁AC≤140°，
140°≤∠B₁AC+∠C₁AC≤160°，
∴20°≤α≤60°或120°≤α≤160°（舍）．
故答案為：[20°，60°]．

點評 本題考查兩直線所成角的取值的求法，解題時要認真審題，注意旋轉性質的合理運用，是難題．