Question

1．近年來，某地區為促進本地區發展，通過不斷整合地區資源、優化投資環境、提供投資政策扶持等措施，吸引外來投資，效果明顯．該地區引進外來資金情況如表：

年份	2012	2013	2014	2015	2016
時間代號t	1	2	3	4	5
外來資金y（百億元）	5	6	7	8	10

（Ⅰ）求y關于t的回歸直線方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$t+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）根據所求回歸直線方程預測該地區2017年（t=6）引進外來資金情況．
參考公式：回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$t+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$t．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=4.4+1.2+0+0.8+5.6=12，$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）²=10，利用最小二乘法求得線性回歸方程的斜率和截距，即可求得y關于t的回歸直線方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$t+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）當x=6時，代入線性回歸方程，即可求得該地區2017年引進外來資金．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：

時間代號t	1	2	3	4	5
ti-$\overline{t}$	-2	-1	0	1	2
（ti-$\overline{t}$）2	4	1	0	1	4
外來資金y（百億元）	5	6	7	8	10
yi-$\overline{y}$	-2.2	-1.2	-0.2	0.8	2.8
（ti-$\overline{t}$）（yi-$\overline{y}$）=	4.4	1.2	0	0.8	5.6

由題意得$\overline{t}$=$\frac{1+2+3+4+5}{5}$=3，$\overline{y}$=$\frac{5+6+7+8+10}{5}$=7.2，…（2分）
$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=4.4+1.2+0+0.8+5.6=12，$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）²=10，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{12}{10}$=1.2，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$t=7.2-1.2×3=3.6，
∴y關于t的回歸方程為$\widehat{y}$=1.2t+3.6．…（8分）
（Ⅱ）當t=6時，$\widehat{y}$=1.2×6+3.6=10.8，
∴預測該地區2017年引進外來資金約10.8百億元．…（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的應用，考查利用最小二乘法求線性回歸方程的斜率和截距的方法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．