Question

13．已知函數f（x）=e^x，g（x）=-x²+ax-a（a∈R），點M，N分別在f（x），g（x）的圖象上．
（1）若函數f（x）在x=0處的切線恰好與g（x）相切，求a的值；
（2）若點M，N的橫坐標均為x，記h（x）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，當x=0時，函數h（x）取得極大值，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據導數的幾何意義求出f（x）在x=0處的切線方程，再與g（x）聯立構成方程組，消元，根據判別式即可求出a的值．
（2）表示出M，N的坐標，求出h（x）的表達式，再根據導數和函數的極值的關系即可求出a的值．

解答 解（1）：f'（x）=e^x，
∴在x=0即切點為（0，1）處的切線斜率k=f'（0）=1，
即切線為y=x+1，
∴聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x^2}+ax-a}\end{array}}\right.$，得x²+（1-a）x+1+a=0，
由相切得△=（1-a）²-4（1+a）=0，
解得$a=3±2\sqrt{3}$
（2）M（x，e^x），N（x，-x²+ax-a），
∴h（x）=x²-e^x（x²-ax+a），
∴h'（x）=2x-e^x[x²+（2-a）x]=-x[e^x（x+2-a）-2]，
由h（x）取得極值，則x=0或e^x（x+2-a）-2=0，
∴$a=x+2-\frac{2}{e^x}$，令$F（x）=x+2-\frac{2}{e^x}$，該函數在R上單調遞增，
∴存在唯一的x₀∈R，使得F（x₀）=a，
①若x₀＞0，則

x	（-∞，0）	0	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	遞減	極小	遞增	極大	遞減

此時x=0時為極小值；
②若x₀=0，則

x	（-∞，0）	（0，+∞）
h'（x）	-	-
h（x）	遞減	遞減

此時x=0時無極小值；
③若x₀＜0，則

x	（-∞，x0）	x0	（x0，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

此時x=0時為極大值，
綜上所述必須，x₀＜0，a=F（x₀），而F（x）在R上單調遞增，
故a=F（x₀）＜F（0）=0．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性和極值，屬中檔題．