Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2，對角線交于點O，DE⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）若∠ADC=120°，DE=2，BE上一點F滿足OF∥DE，求直線AF與平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥BD，DE⊥AC，由此能證明AC⊥BE．
（Ⅱ）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AF與平面BCE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵菱形ABCD的邊長為2，對角線交于點O，
∴AC⊥BD，O為BD中點，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DE⊥AC，
又DE∩DB=D，∴AC⊥平面BDE，
∵BE?平面BDE，∴AC⊥BE．
（Ⅱ）解：∵∠ADC=120°，DE=2，BE上一點F滿足OF∥DE，
∴F是BE中點，OF=1，
以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OF為z軸，
建立空間直角坐標系，
A（

3

，0，0），F(xiàn)（0，0，1），B（0，1，0），
C（-

3

，0，0），E（0，-1，2），

AF

=（-

3

，0，1），

BC

=（-

3

，-1，0），

BE

=（0，-2，2），
設平面BCE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC =- 3 x-y=0 n • BE =-2y+2z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，-3，-3），
設直線AF與平面BCE所成角為θ，
sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=|

-3+0-3

2 21

|=

21

7

．
∴直線AF與平面BCE所成角的正弦值為

21

7

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．