Question

已知拋物線y=

1

8

x²與雙曲線

y2

a2

-x²=1（a＞0）有共同的焦點F，O為坐標原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則

OP

•

FP

的最小值為（　　）

• A、2

  3

  -3
• B、3-2

  3

• C、

  7

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出拋物線的焦點，即有雙曲線的c=2，進而得到雙曲線的方程，設P（m，n），（n≥

3

），則n²-3m²=3，再由向量的數量積的坐標表示，化簡整理成關于n的方程，再由二次函數的最值求法，即可得到最小值．

解答： 解：拋物線y=

1

8

x²的焦點F為（0，2），
則雙曲線

y2

a2

-x²=1的c=2，則a²=3，
即雙曲線方程為

y2

3

-x2=1，
設P（m，n），（n≥

3

），則n²-3m²=3，
則

OP

•

FP

=（m，n）•（m，n-2）=m²+n²-2n=

n2

3

-1+n²-2n
=

4n2

3

-2n-1=

4

3

（n-

3

4

）²-

7

4

，
由于區間[

3

，+∞）在n=

3

4

的右邊，則為增區間，
則當n=

3

時，取得最小值，且為

4

3

×3-2

3

-1=3-2

3

．
故選B．

點評：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質，考查平面向量的數量積的坐標表示，考查二次函數在區間上的最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．