Question

已知函數f（x）=

2x+a

2x-a

，a∈R．
（1）若a=2，探究函數y=f（x）的單調性；
（2）根據a的不同取值，討論函數y=f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）求出函數的定義域，再由指數函數的單調性，即可判斷；
（2）對a討論，a=0，a＞0，a＜0三種情況，先求定義域，判斷是否關于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較，即可判斷奇偶性．

解答： 解：（1）a=2時，f（x）=

2x+2

2x-2

=1+

4

2x-2

，
定義域為{x|x≠1且x∈R}，
當x＞1時，2^x＞2，且2^x-2遞增，

4

2x-2

遞減，則f（x）遞減；
當x＜1時，2^x＜2，且2^x-2遞增，

4

2x-2

遞減，則f（x）遞減．
則有f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上遞減．
（2）f（x）=

2x+a

2x-a

=1+

2a

2x-a

，
若a≤0，則函數的定義域為R，
f（-x）=1+

2a

2-x-a

，若f（-x）=f（x），則有a=0；
若f（-x）=-f（x），則有

2-x+a

2-x-a

=

2x+a

a-2x

，
解得，a=-1．
若a＞0時，若a≠1，則2^x≠a，解得，x≠log₂a，
則定義域不關于原點對稱，f（x）不具奇偶性；
若a=1，則有定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
f（-x）+f（x）=

2-x+1

2-x-1

+

2x+1

2x-1

=0，則為奇函數．
綜上可得，當a=0時，f（x）為偶函數；
當a=±1時，f（x）為奇函數；
當a≠0，且a≠±1時，f（x）為非奇非偶函數．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查分類討論的思想方法，考查定義法的運用，屬于中檔題和易錯題．