Question

設函數f（x）=e^x+e^-x
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）證明函數f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）的關系；
（2）設0＜x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）與0的關系，得到f（x₁）與f（x₂）大小，根據單調性的定義證明．

解答： （1）解：∵f（x）的定義域為R 
∵f（-x）=e^-x+e^x=f（x）（3分）
∴f（x）為偶函數                                         （5分）
（2）證明：設0＜x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2=ex1-ex2+

1

ex1

-

1

ex2

═(ex1-ex2)(1-

1

ex1ex2

)，
因為ex1-ex2＜0，
當x＞0時，e^x＞1
∴ex1＞1，ex2＞1（11分）
∴ex1ex2＞1，

1

ex1ex2

＜1
1-

1

ex1ex2

＞0（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0（13分）
∴f（x）在（0，+∞）上單調增函數．（14分）

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性的運用；關鍵是利用定義解答．