Question

已知數列{a_n}是非常數列的等差數列，S_n為其前n項和，S₅=25，且a₁，a₃，a₁₃成等比數列；數列{b_n}滿足2log₂b_n=a_n+1（n∈N^*），{b_n}的前n項和為T_n．
（I）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）{b_n}的前n項和為T_n，求使T_n＞2014成立的最小正整數n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d≠0，S₅=25，可得

5(a1+a5)

2

=25=5a₃，a₃=5，由于a₁，a₃，a₁₃成等比數列，可得

a

3 3

=a1•a13，

a

2 3

=(a3-2d)•(a3+10d)，解得d．利用等差數列的通項公式可得a_n．由于2log₂b_n=a_n+1，可得2log₂b_n=2n-1+1，解出b_n．
（II）利用等比數列的前n項和公式可得T_n．T_n＞2014即2ⁿ⁺¹-2＞2014，即可得出．

解答： 解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d≠0，S₅=25，
∴

5(a1+a5)

2

=25=5a₃，a₃=5，
∵a₁，a₃，a₁₃成等比數列，
∴

a

3 3

=a1•a13，
∴

a

2 3

=(a3-2d)•(a3+10d)，
∴5²=（5-2d）（5+10d），d≠0，解得d=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1．
∵2log₂b_n=a_n+1，
∴2log₂b_n=2n-1+1，
∴bn=2n．
（II）{b_n}的前n項和為T_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
T_n＞2014即2ⁿ⁺¹-2＞2014，化為2ⁿ＞1013，∴n≥10．
∴使T_n＞2014成立的最小正整數n=10．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式性質及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．