Question

4．設關于x的方程1g（ax）=21g（x-1）．
（1）當a=2時，請解該方程；
（2）討論當a取什么值時，方程有解，并求出它的解．

Answer 1

分析 （1）利用a=2化簡方程，然后求解即可．
（2）對數方程lgax=2lg（x-1）化為不等式組，可得x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．令f（x）=x²-（2+a）x+1．利用二次函數的性質、判別式即可得出．

解答 解：（1）當a=2時，方程lgax=2lg（x-1）化為2x=（x-1）²，解得x=2±$\sqrt{3}$，經過驗證，x=2-$\sqrt{3}$不滿足條件，舍去．
∴該方程的解為x=2+$\sqrt{3}$．
（2）對數方程lgax=2lg（x-1）化為$\left\{\begin{array}{l}{ax＞0}\\{ax=（x-1）^{2}}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，∴x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．
令f（x）=x²-（2+a）x+1．
而f（1）=-a＜0，因此只要$\frac{2+a}{a}$＞1，△=（2+a）²-4≥0或$\frac{2+a}{2}$=1，△=（2+a）²-4＞0即可，解得a＞0．
綜上可得：當a＞0時，該對數方程有解．

點評 本題考查了對數的運算性質、一元二次方程的解法與判別式的關系、二次函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．