Question

8．設函數f（x）為定義在R奇函數，當x＞0時，f（x）=-2x²+4x+1，
（1）求：當x＜0時，f（x）的表達式；
（2）用分段函數寫出f（x）的表達式；
（3）若函數h（x）=f（x）-a恰有三個零點，求a的取值范圍（只要求寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）設x＜0則-x＞0，根據題意和奇函數的性質求出當x＜0時，f（x）的表達式；
（2）由奇函數的性質求出f（0）=0，由（1）和分段函數表示出f（x）；
（3）利用配方法化簡x＞0時的f（x），由（2）和二次函數的圖象畫出f（x）的圖象，根據函數零點的幾何意義和圖象，求出滿足題意的a的取值范圍．

解答 解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=-2x²+4x+1，
∴f（-x）=-2x²-4x+1，
∵f（x）為定義在R上是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=2x²+4x-1，…（6分）
（2）∵f（x）為定義在R上是奇函數，
∴f（0）=-f（-0），則f（0）=0，
由（1）可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+4x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2{x}^{2}+4x-1，x＜0}\end{array}\right.$…（10分）
（3）由函數h（x）=f（x）-a=0得，f（x）=a，
由條件得，當x＞0時，
f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，
由（2）畫出函數f（x）和y=a的圖象，如圖所示：
∵函數h（x）=f（x）-a恰有三個零點，
∴由圖得，-3＜a＜-1或a=0或1＜a＜3，
∴a的取值范圍是
{a|-3＜a＜-1或a=0或1＜a＜3}…（12分）

點評 本題考查了函數奇偶性的性質的應用：函數的解析式，函數零點的轉化，考查了數形結合思想和轉化思想．