Question

20．判斷并證明下列函數的奇偶性：
（1）f（x）=|x+3|-|x-3|；
（2）$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$．

Answer 1

分析 分別求出兩個函數的定義域，然后利用奇偶性的定義判斷得答案．

解答 解：（1）f（x）=|x+3|-|x-3|是奇函數．
∵f（x）=|x+3|-|x-3|的定義域為R，
又f（-x）=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-（|x+3|-|x-3|）=-f（x），
∴f（x）=|x+3|-|x-3|為奇函數；
（2）$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$即是奇函數又是偶函數．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，得x=±1．
∴$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0，即是奇函數又是偶函數．

點評 本題考查函數奇偶性的判斷，關鍵是注意函數的定義域，是中檔題．