Question

12．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，\;\;\;\;\;\;\;x≥0\\ 4x-{x^2}，\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，則不等式$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$的解集是{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

Answer 1

分析 由h（x）=x²+4x在[0，+∞）單調遞增，h（x）_min=h（0）=0，g（x）=-x²+4x在（-∞，0）上單調遞增，g（x）_max=g（0）=0可知函數f（x）在R上單調遞增，則由$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$可得$\sqrt{x}$＞2x，解不等式可求．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，\;\;\;\;\;\;\;x≥0\\ 4x-{x^2}，\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，
∵h（x）=x²+4x在[0，+∞）單調遞增，h（x）_min=h（0）=0
g（x）=-x²+4x在（-∞，0）上單調遞增，g（x）_max=g（0）=0
由分段函數的性質可知，函數f（x）在R上單調遞增
∵$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$，
∴$\sqrt{x}$＞2x，
∴0＜x＜$\frac{1}{4}$，
故答案為{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

點評 本題主要考查了分段函數的單調性的應用，解答本題的關鍵是由每段函數的單調性及最值判斷整段函數的單調性．