Question

18．已知函數f（x）=2^2x-2^xa-（a+1）．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a代入，得到具體指數不等式，利用換元法解之即可；
（2）利用函數有零點，得到方程有根，得到2^x=（a+1）＞0，求得a 的范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=2^2x-2^xa-（a+1）=2^2x-2×2^x-3，
所以不等式f（x）＜0可化為2^2x-2×2^x-3＜0    …（2分）
令t=2^x，則t²-2t-3＜0
解得：0＜t＜3即0＜2^x＜3
所以x＜log₂3…（5分）
所以不等式的解集為（-∞，log₂3）．…（6分）
（2）∵函數f（x）有零點
∴2^2x-2^x•a-（a+1）=0…（8分）
（2^x+1）[2^x-（a+1）]=0又2^x＞0…（10分）
∴2^x=（a+1）＞0
∴a＞-1…（12分）

點評 本題考查了指數不等式的解法以及函數零點問題；注意函數零點即對應方程的根．