Question

3．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦點為F₁，F₂，P為橢圓上任一點，則|PF₁||PF₂|的最小值為（　　）

• A． 25
• B． 16
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 由焦半徑公式|PF₁|=a-ex，|PF₂|=a+ex．|PF₁|•|PF₂|=（a-ex）（a+ex）=25-$\frac{9}{25}$x²，由x∈[-5，5]，即可得出．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，a=5，b=4，c=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$．
由焦半徑公式|PF₁|=a-ex，|PF₂|=a+ex．
|PF₁|•|PF₂|=（a-ex）（a+ex）=a²-e²x²=25-$\frac{9}{25}$x²，
∵x∈[-5，5]，∴x=±5時，|PF₁||PF₂|的最小值為16．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、橢圓的第二定義、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．