Question

14．已知兩定點M（-1，0），N（1，0），直線l：y=-2x+3，在l上滿足|PM|+|PN|=4的點P有2個．

Answer 1

分析 運用橢圓的定義可得，點P的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，把=-2x+3代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，由判別式大于0，即可得出結論．

解答 解：由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
把y=-2x+3代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，并整理得，19x²-48x+24=0，由△=（-48）²-4×19×24＞0，
∴在l上滿足|PM|+|PN|=4的點P有2個．
故答案為：2．

點評 本題考查了橢圓的定義及標準方程，考查了數學轉化思想方法及方程思想方法，解答此題的關鍵是把問題轉化為判斷直線方程與橢圓方程聯立的方程組是否有解，屬中檔題．