Question

已知拋物線y=ax²+c交x軸于A、B兩點，且AB=5，交y軸于點C（0，

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）．
（1）求拋物線的解析式
（2）若點D為拋物線在x軸上方的任意一點，求tan∠DAB+tan∠DBA為一定值；
（3）若點D（-1.5，m）是拋物線y=ax²+c上一點．
①判斷△ABD的形狀并加以證明．
②若M是線段AD上以動點（不與A、D重合），N是線段AB上一點，設AN=t，t為何值時，線段AD上的點M總存在兩個不同的位置使∠BMN=∠BDA

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據y=ax²+c交y軸于C（0，

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），可得c=

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，再根據對稱軸為y軸，AB=5，可得B（

5

2

，0），A（-

5

2

，0），再根據待定系數法可求拋物線的解析式；     
（2）設D（x，-

3

4

x²+

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），過D作DE⊥AB于E點．根據正切函數可得tan∠DAB+tan∠DBA是一個定值．
（3）①將D（-15，m）代入函數的表達式中中，可得D點坐標，再根據勾股定理得到BD=5=AB，根據等腰三角形的判斷即可得到△ABD是等腰三角形．
②設AM=x，則DM=

10

-x，根據相似三角形的判定和性質可得關于x的方程，根據根的判別式和實際意義可得t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=ax²+c交y軸于C（0，

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），
∴c=

75

16

，
∵對稱軸為y軸，AB=5，
∴B（

5

2

，0），A（-

5

2

，0），
將B（

5

2

，0）代入y=ax²+

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，
解得a=-

3

4

．
∴y=-

3

4

x²+

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；        

（2）設D（x，-

3

4

x²+

75

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），
如圖，過D作DE⊥AB于E點．
∴tan∠DAB+tan∠DBA
=

DE

AE

+

DE

BE

=

- 3 4 x2+ 75 16

t+ 5 2

+

- 3 4 x2+ 75 16

5 2 -t

=

15

4

，
∴tan∠DAB+tan∠DBA是一個定值．

（3）①△ABD是等腰三角形．理由如下：
將D（-1.5，m）代入y=-

3

4

x²+

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中，
可得m=3，
∴D（-

3

2

，3），
∴DE=3，BE=

5

2

，
∴BD=

DE2+BE2

=5=AB，
∴△ABD是等腰三角形．
②由①可得，AD=

10

，
設AM=x，則DM=

10

-x，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠BMN=∠BDA，
∴∠BMD+∠AMN=∠BMD+∠DBM，
∴∠AMN=∠DBM，
∴△AMN∽△DBM，
∵AN=t，
∴

AM

DB

=

AN

DM

，
∴

x

5

=

t

10 -x

，
∴x²-

10

x-5t=0，
∵存在兩個不同的位置，
∴該方程有兩個不相等的實數根，
∴△=10-4×5t＞0，
解得t＜

1

2

．
∴當0＜t＜

1

2

時，總存在兩個不同的位置，使∠BMN=∠BDA．

點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求拋物線的解析式，正切函數，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質，根的判別式，綜合性較強，有一定的難度．