Question

已知函數f（x）=

2

sin（x+φ），0＜φ＜

π

2

，且f（0）=1．
（1）求φ的值及函數f（x）的單調遞增區間；
（2）已知f（α-

π

4

）=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，f（β+

π

4

）=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，求cos（α+β）值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據條件f（0）=1即可求φ的值，利用三角函數的單調性即可求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）根據條件求出sinα，cosα，sinβ，cosβ，利用兩角和差的余弦公式進行求解即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=1，
∴f（0）=

2

sinφ=1，
即sinφ=

2

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

4

，
則f（x）=

2

sin（x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
故函數f（x）的單調遞增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z；
（2）∵f（α-

π

4

）=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，f（β+

π

4

）=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，
∴f（α-

π

4

）=

2

sinα=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，
即sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

由f（β+

π

4

）=

2

sin（β+

π

4

+

π

4

）=

2

cosβ=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，
則cosβ=-

12

13

，sinβ=

5

13

，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

12

13

×（-

3

5

）-

4

5

×

5

13

=

16

65

．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質以及兩角和差的余弦公式的應用，考查學生的運算能力．