Question

數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-n．
（1）求證：數列{a_n+1}為等比數列；
（2）記b_n=log₂（a_n+1），求數列{

1

bn•bn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）在已知的數列遞推式中取n=1求得數列首項，取n=n-1得另一遞推式，兩式作差可得a_n=2a_n-1+1（n≥2），然后利用構造法可得數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列；
（2）由數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列求得an+1=2•2n-1=2n，代入b_n=log₂（a_n+1）后求出b_n=n，再代入

1

bn•bn+1

后利用裂項相消法求和．

解答： （1）證明：當n=1時，由S_n=2a_n-n得，S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1；
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-n+1，則a_n=2a_n-n-2a_n-1+n-1，
∴a_n=2a_n-1+1（n≥2），
則a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2）．
∴數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列；
（2）解：由數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列，得an+1=2•2n-1=2n，
∴b_n=log₂（a_n+1）=log22n=n，
則

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．