Question

設0＜b＜a＜

π

2

，求證：

sina

sinb

＜

a

b

＜

tana

tanb

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,不等式的基本性質

專題：導數的綜合應用

分析：令f（x）=tanx-x，x∈(0，

π

2

)．利用導數研究其單調性可得函數f（x）在x∈(0，

π

2

)上單調遞增，即tanx＞x．同理可證：sinx＜x，x∈(0，

π

2

)．再令g（x）=

tanx

x

，x∈(0，

π

2

)．利用導數研究其單調性可得函數函數g（x）在x∈(0，

π

2

)上單調遞增，同理可證：函數y=

sinx

x

在x∈(0，

π

2

)上單調遞減．即可證明．

解答： 證明：令f（x）=tanx-x，x∈(0，

π

2

)．
則f′（x）=

1

cos2x

-1＞0，∴函數f（x）在x∈(0，

π

2

)上單調遞增，
∴f（x）＞f（0）=0，即tanx＞x．
同理可證：sinx＜x，x∈(0，

π

2

)．
再令g（x）=

tanx

x

，x∈(0，

π

2

)．
則g′(x)=

x cos2x -tanx

x2

=

x-sinxcosx

x2

＞

x-sinx

x2

＞0，
∴函數g（x）在x∈(0，

π

2

)上單調遞增，
同理可證：函數y=

sinx

x

在x∈(0，

π

2

)上單調遞減．
∵0＜b＜a＜

π

2

，
∴

sina

a

＜

sinb

b

，

tanb

b

＜

tana

a

，
∴

sina

sinb

＜

a

b

＜

tana

tanb

．

點評：本題考查了通過構造函數利用導數研究其單調性證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．