Question

已知數列{a_n}的首項a₁=

3

2

，前n項和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求滿足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的和．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）在已知的數列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，兩式作差后即可得到數列{a_n}的首項a₁=

3

2

，公比為

1

2

的等比數列，由等比數列的通項公式得答案；
（Ⅱ）將an=

3

2

•(

1

2

)n-1代入2a_n+1+S_n=3，求得Sn=3-3•(

1

2

)n，進一步得到S_2n，代入

S2n

Sn

后由

18

17

＜1+(

1

2

)n＜

8

7

得

1

17

＜(

1

2

)n＜

1

7

，求解指數不等式可得正整數n的值，則答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a_n+S_n-1=3（n≥2），
兩式相減得：2a_n+1-2a_n+a_n=0，即an+1=

1

2

an(n≥2)．
又a1=

3

2

，a2=

3-a1

2

=

3

4

符合上式，
∴數列{a_n}的首項a₁=

3

2

，公比為

1

2

的等比數列，
則an=

3

2

•(

1

2

)n-1；
（Ⅱ）將an=

3

2

•(

1

2

)n-1代入2a_n+1+S_n=3，得Sn=3-3•(

1

2

)n，
故S2n=3-3•(

1

2

)2n=3-3•[(

1

2

)n]2．
∴

S2n

Sn

=

3-3[( 1 2 )n]2

3-3•( 1 2 )2

=1+(

1

2

)n．
故由

18

17

＜1+(

1

2

)n＜

8

7

得

1

17

＜(

1

2

)n＜

1

7

．
又n為正整數，∴n=3或n=4．
∴滿足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的和為7．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了指數不等式的解法，是中檔題．