Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（x+1），x＞0\\-{x^2}+2x，x≤0\end{array}$，則不等式f（2x-1）＞f（2-x）的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-1，2）
• C． （1，2）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 方法一，先判斷出函數f（x）在R上為增函數，即可解不等式可得，
方法二：分別將f（x）換成兩段上的解析式，解不等式即可．

解答 解：方法一：當x＞0時，f（x）=ln（x+1），函數為增函數，此時f（x）＞f（0）=0，
當x≤0時，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，函數為增函數，此時f（x）≤f（0）=1，
∴函數f（x）在R上為增函數，
∵不等式f（2x-1）＞f（2-x），
∴2x-1＞2-x，
解得x＜1，
方法二：
當x＞0時，f（x）=ln（x+1），函數為增函數，則$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x-1＞0}\\{2-x＞0}\\{2x-1＞2-x}\end{array}\right.$，解得1＜x＜2，
當x≤0時，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，函數為增函數，則$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{2x-1≤0}\\{2-x≤0}\\{2x-1＞2-x}\end{array}\right.$，解得x≤2，
綜上所述不等式的解集為（1，+∞），
故選：D

點評 本題考查了以分段函數為背景的不等式的解法；關鍵是利用分段函數得到兩個不等式分別解之，然后取并集．