Question

2．若將函數f（x）=1+3x⁵-2x⁷表示為f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，其中a₀，a₁，a₂，…，a₇為實數，則a₂=-12．

Answer 1

分析 根據x⁵+3x³+1=[1+（x-1）]⁵+3[1+（x-1）]³+1，按照二項式定理展開，和所給的等式作對比，求得a₃的值

解答 解：∵函數f（x）=1+3x⁵-2x⁷=1+3[（x-1）+1]⁵-2[（x-1）+1]⁷
=1+3-2+（3${C}_{5}^{4}$-2${C}_{7}^{6}$）（x-1）+（3${C}_{5}^{3}$-2${C}_{7}^{5}$）•（x-1）²+（3${C}_{5}^{2}$-2${C}_{7}^{4}$）•（x-1）³+…-2${C}_{7}^{0}$•（x-1）⁷，
又f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，
∴a₂=3${C}_{5}^{3}$-2${C}_{7}^{5}$=30-42=-12，
故答案為：-12．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．