Question

7．已知橢圓C的左，右焦點坐標分別為（-2，0），（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若P為橢圓C上的一點，過點P垂直于y軸的直線交y軸于點Q，M為線段QP的中點．點（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C短軸長；
（2）求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由橢圓的焦點坐標和離心率列出方程組，由此能求出橢圓的短軸長．
（2）由（1）可知：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，設P（x₀，y₀），M（x，y），由題意可知：x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，y=y₀，利用代入法能求出點M的軌跡方程．

解答 解：（1）依題意可設橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由橢圓C的左，右焦點坐標分別為（-2，0），（2，0），
∴c=2，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=2$\sqrt{2}$，
于是b²=a²-c²=8-4=4，
∴橢圓C的短軸長為2b=4
（2）有（1）知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，設P（x₀，y₀），M（x，y），
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{8}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，y=y₀，
代入橢圓方程可知：$\frac{（2x）^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴點M的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查橢圓的短軸長的求法，考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．屬于中檔題，