Question

4．已知圓C：（x-t）²+y²=20（t＜0）與橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一個公共點為B（0，-2），F（c，0）為橢圓E的右焦點，直線BF與圓C相切于點B．
（1）求t的值及橢圓E的方程；
（2）過點F任作與坐標軸都不垂直的直線l與橢圓交于M，N兩點，在x軸上是否存在一定點P，使PF恰為∠MPN的平分線？

Answer 1

分析 （1）由已知求得b，結合BC的長度求得t，再由BC⊥BF求得c，再由隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（2）設出直線l的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求得M，N的橫坐標的和與積，代入k_PM+k_PN=0列式求得m值，可得使PF恰為∠MPN的平分線的點P的坐標．

解答 解：（1）由題意知，b=2，
∵C（t，0），B（0，-2），∴$BC=\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{20}$，則t=±4，
∵t＜0，∴t=-4．
∵BC⊥BF，∴c=1，則a²=b²+c²=5．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
設l：y=k（x-1）（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，化簡得
（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$．
若點P存在，設P（m，0），由題意，k_PM+k_PN=0．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}=\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-m}+\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}-m}=0$．
∴（x₁-1）（x₂-m）+（x₂-1）（x₁-m）=0．
即$2{x}_{1}{x}_{2}-（1+m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=2•\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$-（1+m）$•\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}+2m=0$．
∴8m-40=0，得m=5．
即在x軸上存在一定點P（5，0），使PF恰為∠MPN的角平分線．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．